Jika anda mencari contoh soal gradien dan ingin belajar lebih mengenai Gradien, maka anda simak pembahasannya dibawah beserta cara mencari gradien lengkap dengan jawabannya.
Sekedar informasi, dalam matematika, gradien digunakan untuk menghitung garis miring dimana tingkat kemiringan ini dipakai untuk menghitung belokan, kemiringan jalan, dan pembuatan jalan di pegunungan. Selain gradien terdapat persamaan hubungan antara garis dan gradien.
Gradien adalah nilai untuk menunjukkan ukuran dan arah kemiringan garis lurus. Pada sumbu mendatar terdapat perbandingan komponen y (vertikal) dan komponen x (horizontal). Komponen x dan y ini dapat menghitung dua titik A dan B.
Semakin besar nilai gradien, maka nilai tersebut condong terhadap sumbu y. Gradien dapat ditentukan melalui persamaan garis lurus. Tingkat kemiringan terjadi dalam garis koordinat Cartesius. Gradien sendiri bisa miring ke kanan, kiri, dan melandai.
Menguasai gradien bisa sangat bermanfaat dalam berbagai bidang yang mana hal ini umum digunakan di dunia fisik dan ekonomi hingga ilmu komputer dan desain desain grafis. Tapi jangan berkecil hati dulu berpikir gradien itu sulit sebab gradien tidak sesulit seperti anda bayangkan.
Untuk itu, mari kita pelajari cara mencari gradien yang bisa anda simak sebagai berikut.
Cara Mencari Gradien
Sekedar informasi, cara mencari gradien dapat ditempuh dengan berbagai metode, tetapi yang paling umum adalah dengan menggunakan dua titik yang dikenal pada garis. Simak langkah-langkahnya sebagai berikut.
1. Dapatkan Dua Titik pada Garis
Anda perlu memiliki dua titik pada garis yang Kamu ingin mengetahui gradiennya. Anggap saja dua titik ini sebagai x1-y1 dan x2-y2.
2. Gunakan Rumus Gradien
Gradien (m) antara dua titik dapat ditemukan dengan rumus:
[ m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}} \]
Dimana:
y2-y1 adalah perbedaan vertikal antara kedua titik, dan x2-x1 adalah perbedaan horizontal antara kedua titik.
3. Substitusi Nilai Titik ke dalam Rumus
Masukkan koordinat dari kedua titik ke dalam rumus untuk mendapatkan gradien. Sebagai contoh, misalkan kamu memiliki dua titik A (1,2) dan B (3,6).
Maka:
x1 = 1, y1 = 2×2 = 3, y2 = 6
\(m=\frac{{6-2}}{{3-1}} = \frac{4}{2}\)
Jadi, gradien garis yang menghubungkan titik A dan B adalah 2.
Ingatlah bahwa jika garis vertikal, gradiennya tidak terdefinisi (biasanya dikatakan tak hingga). Jika garis horizontal, gradiennya adalah 0.
Contoh soal No. 1-8
1. Diberikan garis dengan persamaan y = 2x – 3. Gradien dari garis ini adalah….
a. 2
b. -2
c. 3
d. -3
Jawaban: a. 2
2. Diberikan garis dengan gradien -3 dan titik melalui (4, 9). Hitung persamaan garis tersebut dalam bentuk y = mx + c.…
a. y = -3x – 9
b. y = -3x + 9
c. y = 3x – 9
d. y = 3x + 9
Jawaban: b. y = -3x + 9
3. Jika garis memiliki gradien 4 dan melalui titik A(3, 7), berapakah persamaan garis tersebut dalam bentuk y = mx + c?
a. y = 4x + 3
b. y = 4x – 5
c. y = 7x + 4
d. y = 3x + 4
Jawaban: b. y = 4x – 5
4. Diberikan dua titik A(2, 5) dan B(6, 11). Hitung gradien dari garis yang melalui kedua titik tersebut…..
a. \frac{3}{2}
b. \frac{3}{4}
c. \frac{2}{3}
d. \frac{4}{5}
Jawaban: a. \frac{3}{2}
5. Diberikan garis dengan persamaan y = -4x – 2. Gradien dari garis ini adalah….
a. 2
b. -2
c. 4
d. -4
Jawaban: d. -4
6. Diberikan dua titik A(0, 2) dan B(4, 6). Hitung gradien dari garis yang melalui kedua titik tersebut.…
a. 1.5
b. 1
c. 2
d. 2.5
Jawaban: b. 1
7. Diberikan garis dengan persamaan y = 2x + 1. Gradien dari garis ini adalah….
a. 1
b. 2
c. -1
d. -2
Jawaban: b. 2
8. Diberikan dua titik A(1, 3) dan B(5, 9). Hitung gradien dari garis yang melalui kedua titik tersebut…..
a. 2
b. 1,5
c. 4
d. 5
Jawaban: b. 1,5
Contoh soal No. 9-16
9. Diberikan dua titik A(4, 8) dan B(7, 5). Hitung gradien dari garis yang melalui kedua titik tersebut….
a. 0.75
b. 1
c. -0.75
d. -1
Jawaban: d. -1
10. Jika dua garis memiliki gradien yang sama, maka garis-garis tersebut….
a. Tidak akan pernah berpotongan
b. Akan selalu berpotongan
c. Akan berpotongan jika memiliki titik bersama
d. Akan berpotongan pada titik (0,0)
Jawaban: a. Tidak akan pernah berpotongan
11. Gradien dari garis yang melewati titik tengah O (0,0) dan titik (12, 8) adalah…
a. \frac{2}{3}
b. \frac{2}{8}
c. \frac{3}{2}
d. \frac{4}{6}
Jawaban: a. \frac{2}{3}
12. Gradien dari persamaan garis y = -7x adalah…
a. 0.
b. -1
c. 1
d. -7
Jawaban: d. -7
13. Gradien dari garis yang melewati titik P (0, -1) dan Q (-2, -3) adalah….
a. 2
b. 1
c. -1
d. -2
Jawaban: b. 1
14. Gradien dari garis yang melewati titik A(3,5) dan B(7,3) adalah….
a. \frac{2}{4}
b. -\frac{2}{4}
c. \frac{1}{2}
d. -\frac{1}{2}
Jawaban: d. -\frac{1}{2}
15. Gradien dari garis yang melewati titik (-2, -4) dan (-3, -1) adalah….
a. 3.
b. 1
c. -1
d. -3
Jawaban: d. -3
16. Terdapat dua titik dalam sebuah garis lurus di diagram kartesius: titik P (4,7) dan titik Q (6,11). Berapa gradien dari garis lurus yang menghubungkan titik P dan Q?
a. 2.
b. 1
c. -1
d. -3
Jawaban: a. -3
Contoh soal No. 17-22
17. Sebuah garis lurus melalui dua titik, A (4,7) dan B (10,19). Berapa gradien dari garis tersebut….
a. 1.
b. 2
c. -1
d. -3
Jawaban: b. -3
18. Tentukan gradien dari garis yang menghubungkan titik A (-2,3) dan titik B (4,11)….
a. \frac{2}{3}
b. \frac{5}{3}
c. \frac{4}{3}
d. -\frac{2}{3}
Jawaban: c. \frac{4}{3}
19. Gradien garis yang tegak lurus garis dengan persamaan -2x+3y-6=0 adalah….
a. \frac{2}{3}
b. \frac{3}{2}
c. \frac{4}{3}
d. -\frac{3}{2}
Jawaban: d. -\frac{3}{2}
20. Apabila titik A(1,-2), B(k,0), dan C(-3,2) berada pada satu garis lurus, maka nilai dari k adalah….
a. 4.
b. 2
c. 0
d. -1
Jawaban: d. -1
21. Tentukan gradien dari garis yang menghubungkan titik-titik A dan B dengan koordinat sebagai berikut!
A (4,7) dan B (8,11)
Jawaban: Cara mencari gradien garis yang menghubungkan dua titik, kita dapat menggunakan rumus:
m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}
Dengan titik A (4,7) dan B (8,11), kita memiliki:
x1 = 4, y1 = 7
x2 = 8, y2 = 11
m = \frac{{11 – 7}}{{8 – 4}} = \frac{4}{4} = 1
Jadi gradien garis yang menghubungkan titik A dan B adalah 1.
22. Tentukan gradien dari garis yang menghubungkan titik-titik P (-2,4) dan Q (4,8)!
Jawaban: Dengan titik P (-2,4) dan Q (4,8), kita memiliki
x1 = -2, y1 = 4
x2 = 8, y2 = 4
Cara mencari gradien garis yang menghubungkan dua titik, kita dapat menggunakan rumus:
m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}
m = \frac{{8 – 4}}{{4 – (-2)}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
Jadi gradien garis yang menghubungkan titik A dan B adalah \frac{2}{3}
Contoh soal No. 23-25
23. Jika gradien dari garis yang melewati (3, p) dan (2, -1) adalah 6, hitunglah nilai dari P!
Jawaban: Untuk menghitung nilai dari P dalam kasus ini, kita dapat menggunakan rumus gradien:
m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}
Kita diberikan dua titik, yaitu (3, p) dan (2, -1), dan nilai gradien (m) adalah 6. Mari kita gunakan rumus gradien untuk mencari nilai P:
6 = \frac{{p – (-1)}}{{3 – 2}}
6 = \frac{{p + 1}}{1}
Sekarang, kita bisa menyelesaikan persamaan ini:
6 = p + 1
Pertama, kita kurangkan 1 dari kedua sisi persamaan:
6 – 1 = p + 1 – 1
5 = p
Jadi, nilai dari P adalah 5.
24. Hitung gradien dari garis dalam persamaan 4x = 2y – 5!
Jawaban: Cara mencari gradien dari garis dalam persamaan 4x = 2y – 5, kita perlu menyusunnya dalam bentuk umum yaitu y = mx + c, di mana m adalah gradien yang kita cari.
Langkah pertama adalah mengisolasi variabel y pada sisi kanan persamaan:
4x = 2y – 5
2y = 4x + 5
y = \frac{{4x + 5}}{2}
y = 2x + \frac{5}{2}
Sekarang, kita telah menyusun persamaan dalam bentuk y = mx + c, di mana m adalah gradien. Dalam hal ini, gradien (m) adalah 2.
Jadi, gradien dari garis dalam persamaan 4x = 2y – 5 adalah 2.
25. Hitunglah Gradien garis yang sejajar dengan garis yang memiliki persamaan 3x + 4y + 5 = 0!
Jawaban: Cara mencari gradien garis yang sejajar dengan garis yang memiliki persamaan 3x + 4y + 5 = 0, kita perlu mengambil persamaan ini dan menyusunnya dalam bentuk umum yaitu y = mx + c, di mana m adalah gradien yang kita cari.
Langkah pertama adalah mengisolasi variabel y pada sisi kiri persamaan:
3x + 4y + 5 = 0
4y = -3x – 5
y = \frac{{-3x – 5}}{4}
y = -\frac{3}{4}x – \frac{5}{4}
Sekarang anda telah menyusun persamaan dalam bentuk y = mx + c. Gradien (m) dari garis ini adalah -\frac{3}{4}
Jadi, gradien garis yang sejajar dengan garis yang memiliki persamaan 3x + 4y + 5 = 0 adalah -\frac{3}{4}
Demikian informasi mengenai contoh soal gradien dan cara mencari gradien. Sebagai catatan, gradien adalah kunci untuk memahami perubahan, sejauh mana anda dapat melacak dan mengukurnya. Dengan menggunakan rumus sederhana, anda dapat menghitung gradien garis, menemukan kemiringan, dan menjawab berbagai pertanyaan dalam berbagai disiplin ilmu.