Bagi anda yang mencari contoh soal invers matriks Matematika kelas 11, maka anda bisa menyimak contoh soal dan pembahasan dibawah ini lengkap dengan jawabannya.
Sekedar informasi, sebagaimana dalam modul Matematika Umum Kelas XI yang disusun oleh Yusdi Irfan (2020), invers matriks adalah matriks baru yang merupakan kebalikan dari matriks asal. Matriks adalah susunan dengan bentuk persegi panjang atau persegi yang tersusun dari angka dan diatur dalam baris maupun kolom.
Invers matriks adalah salah satu metode penting untuk menyelesaikan soal-soal di dalam sebuah matriks. Sebelum mencari invers suatu matriks, maka terlebih dahulu anda harus menentukan determinannya dimana determinan merupakan nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi.
Invers sendiri dapat diartikan sebagai lawan dari sesuatu atau kebalikan. Apabila suatu matriks memiliki invers, dapat dikatakan matriks tersebut adalah matriks nonsingular. Sebaliknya, jika suatu matriks tidak memiliki invers, maka matriks tersebut merupakan matriks singular.
Invers matriks adalah sebuah kebalikan (invers) dari kedua matriks. Apabila matriks tersebut dikalikan akan menghasilkan matriks persegi (AB = BA = |). Simbol dari invers matriks adalah pangkat -1 dan terletak di atas hurufnya. Sebagai contoh, matriks B adalah invers matriks A sehingga ditulis B = A–1 dan matriks A adalah invers dari matriks B ditulis A = B-1. Matriks A dan B merupakan dua matriks yang saling invers (berkebalikan). Invers matriks terdiri dari dua jenis, yaitu matriks persegi (2×2) dan matriks 3×3.
Daftar Isi:
Syarat Invers Matriks
Agar sebuah matriks memiliki invers, terdapat beberapa syarat yang harus dipenuhi sebagai berikut.
- Matriks harus persegi (jumlah baris = jumlah kolom).
- Determinan matriks tidak boleh sama dengan nol (det(A) ≠ 0).
- Matriks harus non-singular (tidak dapat direduksi menjadi matriks dengan baris atau kolom yang linear tergantung satu sama lain).
Sifat Invers Matriks
Untuk sebuah matriks A berordo n x n dengan n merupakan bilangan bulat positif, dan jika determinan A tidak sama dengan nol, maka jika A⁻¹ adalah invers dari A, berlaku hubungan (A⁻¹) ⁻¹ = A.
Dalam konteks matriks A dan B, keduanya berordo n x n dengan n merupakan bilangan bulat positif, dan asalkan determinan A dan B tidak sama dengan nol, jika dan adalah invers dari matriks A dan B, maka (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.
Rumus Invers Matriks
Invers dari matriks A yang memiliki ordo 2×2 A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} adalah
\quad A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
Untuk mendapatkan invers matriks berordo 2, langkah-langkahnya sebagai berikut:
- Tukar elemen-elemen pada diagonal utama.
- Ubah tanda negatif pada elemen-elemen yang tidak berada pada diagonal utama.
- Bagi setiap elemen matriks dengan determinannya.
Invers dari matriks A yang memiliki ordo 3×3 A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & \imath \end{pmatrix} adalah
\quad A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{Adj} A
Dalam proses perhitungan invers matriks An menggunakan transformasi baris elementer, anda dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
Awalnya, anda dapat membentuk matriks gabungan (An|In), di mana In adalah matriks identitas berordo n. Selanjutnya, anda bisa melakukan transformasi elemen baris pada matriks (An|In) sehingga anda bisa mengubahnya menjadi matriks (In|Bn).
Hasil dari langkah kedua adalah matriks invers dari matriks An, yang anda sebut sebagai Bn.
Beberapa notasi umum yang digunakan dalam transformasi baris elementer meliputi sebagai berikut.
- Bi ↔ Bj: Ini berarti menukar elemen-elemen baris ke-I dengan elemen-elemen baris ke-j.
- Bi: Ini mengacu pada pengalihan setiap elemen-elemen baris ke-I dengan suatu skalar k.
- Bi + kBj: Ini melibatkan penjumlahan elemen-elemen pada baris ke-I dengan k kali elemen-elemen baris ke-j. A⁻¹
Contoh Soal Invers Matriks Matematika Kelas 11
Contoh Soal Invers Matriks Matematika Kelas 11 dan Jawabannya Bagian 1
1. A = \ \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} jika A⁻¹ adalah invers dari matriks A, maka berapa A⁻¹….
A. \quad \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}
B. \quad \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}
C. \quad \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}
D. \quad \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
E. \quad \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}
Jawaban: A. \quad \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}
2. Diketahui matrik \ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} dan \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
Jika matriks Y = A + B, berapa invers matriks dari Y….
A. \ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
B. \ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
Jawaban: B. \ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}
3. Diketahui dua buah matriks \ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} dan \quad B = \begin{pmatrix} -6 & -5 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} maka berapa hasil dari AB⁻¹….
A. \ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1\frac{1}{2} \\ 1 & -2 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1\frac{1}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1\frac{1}{2} \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
Jawaban: C. \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1\frac{1}{2} \\ 1 & -2 \end{pmatrix}
4. Diketahui matriks \ A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
maka invers matriks (A-B) berapa…
A. \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}
B. \ \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}
Jawaban: D. \ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}
5. Diketahui matriks \ C = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} berapa invers matriks C….
A. \ \begin{pmatrix} 5 & -12 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}
B. \ \begin{pmatrix} -5 & -12 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} -5 & -12 & 3 \\ -2 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} -5 & -12 & 3 \\ -2 & -4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix} \]
E. \ \begin{pmatrix} -5 & -12 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}
Jawaban: D. \ \begin{pmatrix} -5 & -12 & 3 \\ -2 & -4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix} \]
Contoh Soal Invers Matriks Matematika Kelas 11 dan Jawabannya Bagian 2
6. Diketahui matriks \ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{pmatrix} berapa A⁻¹ ….
A. \ \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}
B. \[ \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}
Jawaban: A. \ \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}
7. Diketahui dua buah matriks \ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
maka berapa hasil dari invers AB atau (AB)⁻¹….
A. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}
B. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 & -7 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
C. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}
D. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -8 & -1 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}
E. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
Jawaban:B. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 & -7 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
8. Diketahui dua buah matriks \ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}
maka invers matriks AB adalah….
A. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}
B. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3 & 7 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}
C. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 7 & -6 \end{pmatrix}
D. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 7 & 6 \end{pmatrix}
E. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}
Jawaban: C. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 7 & -6 \end{pmatrix}
9. Diketahui sebuah matriks \ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} maka invers matriks A ialah….
A. \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}
B. \ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -7 & -4 \end{pmatrix}
Jawaban: D. \ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}
10. Diketahui \ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} Jika determinan matriks A adalah -1, maka invers matriks A adalah….
A. \ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
B. \ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}
Jawaban: A. \ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
Contoh Soal Invers Matriks Matematika Kelas 11 dan Jawabannya Bagian 3
11. Diketahui matriks \ B = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} , tentukan B⁻¹!
Jawaban: Langkah 1: Menghitung Determinan Matriks B
Determinan matriks B dapat dihitung dengan rumus berikut:
det(B) = (8 * 2) – (3 * 5)
det(B) = 16 – 15
det(B) = 1
det(B) = (8 * 2) – (3 * 5)
det(B) = 16 – 15
det(B) = 1
Langkah 2: Menghitung Matriks Kofaktor
Selanjutnya, kita perlu menghitung matriks kofaktor dari matriks B. Kofaktor adalah determinan dari matriks minor yang dihasilkan dengan menghapus baris dan kolom tertentu. Berikut adalah matriks kofaktor B:
Kofaktor(B) = \ \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 8 \end{pmatrix}
Langkah 3: Menghitung Matriks Adjoin
Matriks adjoin adalah matriks transpose dari matriks kofaktor. Jadi, kita harus mentransposisi matriks kofaktor:
\ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}
Langkah 4: Menghitung Matriks Invers
Invers dari matriks B yang memiliki ordo 2×2 rumusnya adalah
\ B^{-1} = \frac{1}{\det B} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
\ B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}
Jadi, invers dari matriks B adalah \ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}
12. Tentukan invers matriks B dari matriks \ B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} !
Jawaban: Langkah 1: Menghitung Determinan Matriks B
Determinan matriks B dapat dihitung menggunakan rumus det(B) = (ad) – (bc), di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks B. Dalam kasus ini:
a = 9 b = 2 c = 4 d = 1
Maka, det(B) = (9 * 1) – (2 * 4) = 9 – 8 = 1.
Langkah 2: Menghitung Matriks Kofaktor
Kita perlu menghitung matriks kofaktor dari matriks B. Kofaktor adalah determinan dari matriks minor yang dihasilkan dengan menghapus baris dan kolom tertentu. Dalam kasus ini, kita memiliki empat matriks kofaktor:
\ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 9 \end{pmatrix}
Langkah 3: Menghitung Matriks Adjoin
Matriks adjoin adalah matriks transpose dari matriks kofaktor:
\ \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}
Langkah 4: Menghitung Matriks Invers
Terakhir, kita dapat menghitung matriks invers dengan membagi matriks adjoin dengan determinan matriks B:
\ B^{-1} = \frac{1}{\det B} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
\ B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}
Jadi, invers dari matriks B adalah \ \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}
Contoh Soal Invers Matriks Matematika Kelas 11 dan Jawabannya Bagian 4
13. Diketahui matriks \ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
jika matriks Z adalah (A+B), maka hitunglah invers matriks Z!
Jawaban: Langkah 1: Menghitung Matriks A + B
\ A + B = \begin{pmatrix} 1 + 2 & -1 + 3 \\ 0 + 1 & 1 + 0 \end{pmatrix}
\ A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
Jadi matriks Z adalah \ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
Langkah 2 Menghitung Determinan Matriks Z
Determinan matriks Z dapat dihitung menggunakan rumus det(Z) = (ad) – (bc), di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks Z. Dalam kasus ini:
a = 3 b = 2 c = 1 d = 1
Maka, det(Z) = (3 * 1) – (2 * 1) = 3 – 2 = 1.
Langkah 3: Menghitung Matriks Kofaktor
Kita perlu menghitung matriks kofaktor dari matriks Z. Kofaktor adalah determinan dari matriks minor yang dihasilkan dengan menghapus baris dan kolom tertentu. Dalam kasus ini, kita memiliki dua matriks kofaktor:
\ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
Langkah 4: Menghitung Matriks Adjoin
Matriks adjoin adalah matriks transpose dari matriks kofaktor:
\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
Langkah 5 Menghitung Matriks Invers
Terakhir, anda dapat menghitung matriks invers dengan membagi matriks adjoin dengan determinan matriks Z. Invers dari matriks A yang memiliki ordo 2×2 rumusnya adalah
\ Z^{-1} = \frac{1}{\det Z} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
\ Z^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
Jadi, invers dari matriks Z adalah \ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
Demikian informasi mengenai contoh soal invers matriks Matematika kelas 11. Semoga berguna dan bermanfaat.