Apakah anda bingung mengenal rumus dilatasi Matematika? maka anda tepat berada di artikel ini dimana anda bisa menyimak pembahasannya dibawah ini lengkap dengan contoh soal dan jawabannya.
Sekedar informasi, dalam pembelajaran matematika, dilatasi merupakan transformasi yang bisa mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali terhadap titik tertentu. Transformasi ini juga dapat mengubah ukuran suatu objek dengan tidak mengubah bentuknya.
Dilatasi bisa dilakukan dengan cara menggeser titik-titik objek ke arah yang sama dengan jaraknya dan ditentukan dari faktor skala tertentu. Faktor skala dilatasi bisa berupa nilai positif maupun negatif. Bila faktornya positif, objek akan tampak lebih besar setelah dilatasi. Berlaku juga kebalikannya, apabila faktornya negatif, maka objek akan tampak lebih kecil. Dengan transformasi dilatasi, semua bangun geometri bisa dibesarkan maupun dikecilkan ukurannya.
faktor skala (k) dan pusatnya sangat mempengaruhi dilaaso. Apabila suatu bangun akan didilatasikan berarti bangun tersebut akan diubah ukurannya, tetapi sama sekali tidak mengubah bentuknya. Dilatasi yang berpusat pada P dengan faktor skala k dinotasikan dengan (P, k). Berdasarkan nilai dari faktor skala k, bayangan yang diperoleh bisa ditentukan sebagai berikut.
Apabila k > 1, bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
Apabila 0 < k < 1, bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
Apabila -1 < k < 0, bangun bayangan diperkecil dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan dibangun semula.
Apabila k < -1, bangun bayangan diperbesar dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
Rumus dilatasi bisa dinyatakan dengan persamaan matematika yang bisa anda simak sebagai berikut.
x’ = kx
y’ = ky
(x’, y’) = koordinat setelah dilatasi
(x, y) = koordinat sebelum dilatasi
k = faktor skala dilatasi
Contoh-contoh Soal Dilatasi
Contoh Soal (1)
Sebuah segitiga ABC memiliki titik-titik A(1,2), B(3,5), dan C(4,1). Jika segitiga tersebut mengalami dilatasi dengan pusat dilatasi di titik O(0,0) dengan faktor skala k=2.
Tentukan koordinat titik-titik A’, B’, dan C’ dari segitiga baru tersebut!
Jawaban:
Untuk menemukan koordinat titik-titik pada segitiga yang mengalami dilatasi dengan pusat dilatasi di titik O(0,0) dan faktor skala k=2, kita dapat menggunakan rumus dilatasi:
(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)
Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.
Titik A'(A1, A2)
A1=2×1=2
A2=2×2=4
Maka, koordinat A′ adalah (2,4)(2,4)
Titik B'(B1, B2)
B1=2×3=6
B2=2×5=10
Maka, koordinat B′ adalah (6,10)(6,10)
Titik C'(C1, C2)
C1=2×4=8
C2=2×1=2
Maka, koordinat ′C′ adalah (8,2)(8,2)
Dengan demikian, koordinat titik-titik dari segitiga baru setelah dilatasi adalah A′(2,4), B′(6,10), dan C′(8,2).
Contoh Soal (2)
Sebuah segitiga memiliki titik-titik A(2, 4), B(4, 4), dan C(3, 6). Jika segitiga tersebut diperbesar dengan faktor skala 3 dengan pusat dilatasi di titik O(0,0).
Tentukan titik-titik baru A’, B’, dan C’ dari segitiga yang telah diperbesar tersebut.
Pembahasan:
Untuk menentukan koordinat titik-titik pada segitiga yang diperbesar dengan pusat dilatasi di titik O(0,0) dan faktor skala k=3, kita dapat menggunakan rumus dilatasi sebagai berikut:
(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)
Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.
Titik A'(A1, A2)
A1=3×2=6
A2=3×4=12
Oleh karena itu, koordinat A′ adalah (6,12)(6,12)
Titik B'(B1, B2)
B1=3×4=12
B2=3×4=12
Oleh karena itu, koordinat B′ adalah (12,12)(12,12)
Titik C'(C1, C2)
C1=3×3=9
C2=3×6=18
Oleh karena itu, koordinat C′ adalah (9,18)(9,18)
Sebagai hasilnya, koordinat titik-titik dari segitiga yang telah diperbesar adalah A′(6,12), B′(12,12), dan C′(9,18).
Contoh Soal (3)
Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titik-titiknya sebagai berikut: A(2, 3), B(4, 6), dan C(6, 2).
Jika segitiga tersebut didilatasi dengan pusat dilatasi di titik O(0, 0) dan faktor skala k=2, tentukan titik-titik dari segitiga A’B’C’ hasil dilatasi!
Jawaban:
Untuk menentukan koordinat titik-titik pada segitiga ′A′B′C′ yang didilatasi dari segitiga ABC dengan pusat dilatasi di titik O(0,0) dan faktor skala k=2, kita dapat menggunakan rumus dilatasi:
(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)
Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.
Titik A′(A1,A2)
A1=2×2=4
A2=2×3=6
Maka, koordinat A′ adalah (4,6)(4,6)
Titik B′(B1,B2)
B1=2×4=8
B2=2×6=12
Maka, koordinat B′ adalah (8,12)(8,12)
Titik C′(C1,C2)
C1=2×6=12
C2=2×2=4
Maka, koordinat C′ adalah (12,4)(12,4)
Dengan demikian, koordinat titik-titik dari segitiga A′B′C′ setelah dilatasi adalah A′(4,6), B′(8,12), dan C′(12,4).
Contoh Soal (4)
Diketahui sebuah persegi ABCD dengan titik-titiknya sebagai berikut: A(1, 1), B(1, 4), C(4, 4), dan D(4, 1).
Jika persegi tersebut didilatasi dengan pusat dilatasi di titik O(2,2) dan faktor skala k=0.5, tentukan titik-titik dari persegi A’B’C’D’ hasil dilatasi!
Jawaban:
Untuk menentukan koordinat titik-titik pada persegi A′B′C′D′ yang didilatasi dari persegi ABCD dengan pusat dilatasi di titik O(2,2) dan faktor skala k=0.5.
Kita dapat menggunakan rumus dilatasi terhadap sebuah pusat dilatasi O(x0,y0) sebagai berikut:
(x′,y′)=x0+k⋅(x−x0),y0+k⋅(y−y0)
Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.
Titik A′(A1,A2)
A1=2+0.5⋅(1−2)=2−0.5=1.5
A2=2+0.5⋅(1−2)=2−0.5=1.5
Maka, koordinat A′ adalah (1.5,1.5)(1.5,1.5)
Titik B′(B1,B2)
B1=2+0.5⋅(1−2)=2−0.5=1.5
B2=2+0.5⋅(4−2)=2+1=3
Maka, koordinat B′ adalah (1.5,3)(1.5,3)
Titik C′(C1,C2)
C1=2+0.5⋅(4−2)=2+1=3
C2=2+0.5⋅(4−2)=2+1=3
Maka, koordinat C′ adalah (3,3)(3,3)
Titik D′(D1,D2)
D1=2+0.5⋅(4−2)=2+1=3
D2=2+0.5⋅(1−2)=2−0.5=1.5
Maka, koordinat D′ adalah (3,1.5)(3,1.5)
Sebagai hasilnya, koordinat titik-titik dari persegi A′B′C′D′ setelah dilatasi adalah A′(1.5,1.5), B′(1.5,3), C′(3,3), dan D′(3,1.5).
Contoh Soal (5)
Sebuah segi empat ABCD memiliki titik-titik sudut sebagai berikut: A(2, 3), B(5, 3), C(5, 1), dan D(2, 1). Jika segi empat ABCD mengalami dilatasi dengan pusat di titik asal (0,0) dengan skala 2.
Tentukan koordinat titik-titik sudut segi empat yang baru setelah dilatasi.
Pembahasan:
Untuk menemukan koordinat titik-titik pada segi empat yang mengalami dilatasi dengan pusat dilatasi di titik O(0,0) dan faktor skala k=2, kita dapat menggunakan rumus dilatasi:
(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)
Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.
Titik A′(A1,A2)
A1=2×2=4
A2=2×3=6
Maka, koordinat A′ adalah (4,6)(4,6)
Titik B′(B1,B2)
B1=2×5=10B2=2×3=6
Maka, koordinat B′ adalah (10,6)(10,6)
Titik C′(C1,C2)
C1=2×5=10
C2=2×1=2
Maka, koordinat C′ adalah (10,2)(10,2)
Titik D′(D1,D2)
D1=2×2=4
D2=2×1=2
Maka, koordinat D′ adalah (4,2)(4,2)
Dengan demikian, koordinat titik-titik dari segi empat baru setelah dilatasi adalah A′(4,6), B′(10,6), C′(10,2), dan D′(4,2).
Contoh Soal (6)
Sebuah lingkaran memiliki pusat di titik O(3,4) dengan radius 5 unit. Jika lingkaran ini mengalami dilatasi dengan pusat di titik asal (0,0) dengan skala 3, tentukan pusat dan radius lingkaran yang baru setelah dilatasi.
Penyelesaian:
Untuk menentukan pusat dan radius dari lingkaran baru setelah dilatasi dengan pusat di titik asal O(0,0) dan skala k=3, kita bisa memanfaatkan rumus dilatasi:
(x′,y′)=(k⋅x,k⋅y)
Di mana (x′,y′) adalah koordinat titik setelah dilatasi, dan (x,y) adalah koordinat titik sebelum dilatasi.
Pusat Lingkaran Baru O′(O1,O2)
O1=3×3=9
O2=4×3=12
Maka, pusat O′ dari lingkaran baru adalah (9,12)(9,12)
Radius Lingkaran Baru R′ Radius lingkaran sebelum dilatasi adalah 55 unit. Setelah dilatasi dengan faktor skala k=3, radius baru R′ akan menjadi:
R′=3×5=15
Maka, radius lingkaran baru adalah 15 unit.
Sebagai kesimpulan, lingkaran baru setelah dilatasi memiliki pusat di titik O′(9,12) dengan radius 15 unit.
Contoh Soal (7)
Sebuah titik A(3,4) akan diperbesar dengan faktor dilatasi k=2 dengan pusat dilatasi di titik asal (0,0). Tentukan koordinat baru dari titik A setelah dilatasi.
Jawaban:
Menggunakan rumus dilatasi dua dimensi (x′,y′)=(k×x,k×y):
A′(x′,y′)=(2×3,2×4)A′(x′,y′)=(6,8)
Maka, koordinat baru dari titik A setelah dilatasi adalah A′(6,8).
Contoh Soal (8)
Sebuah titik B(2,5) akan diperkecil dengan faktor dilatasi k=0.5 dan pusat dilatasi di titik C(1,1). Tentukan koordinat baru dari titik B setelah dilatasi.
Jawaban:
Menggunakan rumus (x′,y′)=(a+k×(x−a),b+k×(y−b)) maka:
B′(x′,y′)=(1+0.5×(2−1),1+0.5×(5−1)
)B′(x′,y′)=(1+0.5,1+2)
B′(x′,y′)=(1.5,3)
Maka, koordinat baru dari titik B setelah dilatasi adalah B′(1.5,3).
Contoh Soal (9)
Sebuah titik D(1,2,3) akan diperbesar dengan faktor dilatasi k=3 dengan pusat dilatasi di titik asal O(0,0,0). Tentukan koordinat baru dari titik D setelah dilatasi.
Jawaban:
Menggunakan rumus dilatasi tiga dimensi (x′,y′,z′)=(k×x,k×y,k×z):
D′(x′,y′,z′)=(3×1,3×2,3×3)
D′(x′,y′,z′)=(3,6,9)
Maka, koordinat baru dari titik D setelah dilatasi adalah D′(3,6,9).
Contoh Soal (10)
Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titik-titiknya adalah A(1,1), B(3,1), dan C(2,3). Lakukan dilatasi pada segitiga ABC dengan faktor dilatasi k=2 dan pusat dilatasi di titik O(0,0).
Langkah-langkah Penyelesaian:
1. Menggunakan Rumus Dilatasi pada Titik A:
A′(x′,y′)=(2×1,2×1)=(2,2)
2. Menggunakan Rumus Dilatasi pada Titik B:
B′(x′,y′)=(2×3,2×1)=(6,2)
3. Menggunakan Rumus Dilatasi pada Titik C:
C′(x′,y′)=(2×2,2×3)=(4,6)
Jawaban:
Setelah dilatasi, titik-titik baru pada segitiga ‘ABC′ adalah A′(2,2), B′(6,2), dan C′(4,6).
Contoh Soal (11)
Diberikan sebuah segitiga dengan titik-titik A(2, 3), B(4, 5), dan C(6, 3). Lakukan dilatasi terhadap segitiga ini dengan faktor dilatasi k=2 dan pusat dilatasi di titik asal O(0,0).
Jawaban
Dengan menggunakan rumus dilatasi pada bidang dua dimensi:
(x′,y′)=(k×x,k×y)
Kita dapat mencari titik-titik baru setelah dilatasi sebagai berikut:
Titik A'(x’, y’): (2×2,3×2)=(4,6)(2×2,3×2)=(4,6)
Titik B'(x’, y’): (4×2,5×2)=(8,10)(4×2,5×2)=(8,10)
Titik C'(x’, y’): (6×2,3×2)=(12,6)(6×2,3×2)=(12,6)
Maka, segitiga baru setelah dilatasi adalah segitiga dengan titik-titik A'(4, 6), B'(8, 10), dan C'(12, 6).
Contoh Soal (12)
Diberikan sebuah titik D(3, 4). Lakukan dilatasi terhadap titik ini dengan faktor dilatasi k=0.5 dan pusat dilatasi di titik P(1,1).
Jawaban
Dengan menggunakan rumus dilatasi dengan pusat di (a,b):
(x′,y′)=(a+k×(x−a),b+k×(y−b))
Kita dapat mencari titik baru setelah dilatasi:
Titik D'(x’, y’): (1+0.5×(3−1),1+0.5×(4−1))(1+0.5×(3−1),1+0.5×(4−1))
Titik D'(x’, y’): (1+0.5×2,1+0.5×3)(1+0.5×2,1+0.5×3)
Titik D'(x’, y’): (1+1,1+1.5)(1+1,1+1.5)
Titik D'(x’, y’): (2,2.5)(2,2.5)
Maka, titik baru setelah dilatasi adalah D'(2, 2.5).
Demikian informasi mengenai mengenal rumus dilatasi Matematika lengkap dengan contoh soal dan jawabannya. Semoga berguna dan bermanfaat.